Der aerostatische Auftrieb

Ballonvergleich — Größenvergleich: Ballon mit Helium (Volumen VHe) und Ballon mit Wasserstoff (Volumen VH) zum Heben derselben Masse

Sie sind mit einem Gas oder Gasgemisch gefüllt, das leichter als die umgebende Luft ist und damit einen Auftrieb erzeugt. Das kann wiederum Luft sein, jedoch wärmere als außen (Heißluftballon), oder ein anderes Gas. Der bei Luftschiffen zusätzlich vorhandene dynamische Auftrieb wir in einem anderen Beitrag behandelt.

Als sogenanntes Traggas kommen Gase in Frage, die eine geringere Dichte als Luft (ca. 1,293 kg/m³ unter Normalbedingungen) haben. Ideal in physikalischer Hinsicht ist dafür Wasserstoff mit einer Dichte von nur 0,0899 kg/m³. Da dieses Gas zudem relativ leicht und billig herzustellen ist, war es bis weit in das 20. Jahrhundert hinein als Traggas vorherrschend. Auch heute wird es weiterhin für bemannte und unbemannte Ballons eingesetzt.

Chemisch hat Wasserstoff allerdings die ungünstige Eigenschaft, leicht brennbar und im Gemisch mit Sauerstoff, etwa aus der Luft, in einem ganz bestimmten Verhältnis sogar explosiv zu sein (Knallgas). Deshalb wurde er allmählich durch das inerte Edelgas Helium verdrängt, sobald dieses in hinreichenden Mengen produziert werden konnte. Vor dem zweiten Weltkrieg waren dazu ausschließlich die USA in der Lage.

Helium hat mit 0,1785 kg/m³ zwar eine doppelt so große Dichte wie Wasserstoff, da für den Auftrieb aber die Differenz zur Luftdichte entscheidend ist, erzeugt eine Heliumfüllung nur etwa 8% weniger Auftrieb als eine Wasserstofffüllung.

Aus diesen Werten ergibt sich als großzügige Faustregel: Um ein Gewicht entsprechend 1 kg zu heben benötigt man rund 1 m³ Traggas.

Wer es etwas genauer mag: Mit einem Kubikmeter Wasserstoff lässt sich ein Auftrieb von 1,203 kg, mit einem Kubikmeter Helium von 1,1145 kg erzeugen. Diese Werte gelten unter Normbedingungen.

Archimedes (Zeichnung) — Archimedes (Zeichner unbekannt)

Das Archimedische Prinzip

Prinzip des statischen Auftriebs

Das Archimedisches Prinzip wurde schon vor über 2000 Jahren vom griechischen Gelehrten Archimedes entdeckt. Es lautet:

Die Auftriebskraft eines Körpers ist genau so groß wie die Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge.

Ein Gegenstand wird also leichter, wenn er z.B. ins Wasser getaucht wird. Dieses Prinzip lässt Schiffe schwimmen. Das Archimedische Prinzip gilt auch für Gase, aufgrund der geringen Dichte von Gasen ist der Auftrieb normalerweise jedoch nicht von Bedeutung. Eine Ausnahme sind Ballone und Luftschiffe, die durch ihre Füllung mit sehr leichten Gasen soviel Auftrieb bekommen, dass sie aufsteigen können.

Ursache für die Auftriebskraft ist der nach unten hin zunehmende Druck im verdrängten Medium (beispielsweise Wasser). Dadurch wirkt auf die unteren Teile der Oberfläche eines eintauchenden Körpers eine größere Kraft als auf die oberen Teile der Oberfläche.

Beispiel: Taucht man einen Stein in ein Gefäß voll Wasser, wird er leichter. Das bedeutet, dass die Kraft, die den Stein zu Boden zieht, verringert wird. Das Wasser um den Stein herum wird verdrängt und der Druck wird weiter unten im Gefäß erhöht. Dieser Druck hat zur Folge, dass der Stein nicht so leicht nach unten absinken kann. Er wird nach oben gedrückt (statischer Auftrieb).

Die Entdeckung des Archimedischen Prinzips

Archimedes war von König Hieron II von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre, oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte. Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief „Heureka!” (Ich habe es gefunden).

Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen vollen Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren, musste sie aus einem leichteren Material, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein.

Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert.

Mathematisch-physikalische Herleitung

Wirkt auf eine Fläche (mit Flächeninhalt und Normalenvektor ) von einer Seite ein konstanter Druck pA, so ist der nach unten (bzw. nach oben, bei negativem Vorzeichen) wirkende Kraftanteil

wobei ein nach unten zeigender Einheitsvektor ist. Das archimedische Prinzip gilt nun genau dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist. Für Flüssigkeiten wie z.B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der in eine Flüssigkeit der Dichte ρ eintaucht.

In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe A in der Tiefe z das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Masse . Der Druck in dieser Tiefe ist deshalb

Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen z auch in der Luft oder anderen Gasen (d.h. die Kompressibilität fällt nicht ins Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden). Deshalb gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder Ballone.

Für einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des Archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnen. Für einen Quader mit Grundfläche A und Höhe h, der senkrecht in die Flüssigkeit eintaucht, erhält man beispielsweise:

Kraft auf die obere Grundfläche:
Kraft auf die untere Grundfläche:
Kräfte auf die Seitenflächen wirken nicht nach oben oder unten
Die gesamte Auftriebskraft ist also

Dabei ist V das verdrängte Volumen, also die verdrängte Masse und ihre Gewichtskraft. Das Archimedische Prinzip ist also erfüllt. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Auftriebskraft der Gewichtskraft entgegengesetzt ist.